Найдите угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), если дано: \(\vec{m} \perp \vec{k}\), \(|\vec{m}| = 1\), \(|\vec{n}| = 1\), \(\vec{a} = 3\vec{m} + 2\vec{k}\), \(\vec{b} = \vec{m} + 5\vec{k}\). Ответ запишите в градусах.

Для начала, вспомним, что косинус угла между двумя векторами можно найти по формуле:

$$\cos{\theta} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$$

Где \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) - скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), а \(|\vec{a}|\) и \(|\vec{b}|\) - их длины.

1. Найдем скалярное произведение \(\vec{a} \cdot \vec{b}\):

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = (3\vec{m} + 2\vec{k}) \cdot (\vec{m} + 5\vec{k}) = 3(\vec{m} \cdot \vec{m}) + 15(\vec{m} \cdot \vec{k}) + 2(\vec{k} \cdot \vec{m}) + 10(\vec{k} \cdot \vec{k})$$

Так как \(\vec{m} \perp \vec{k}\), то \(\vec{m} \cdot \vec{k} = 0\). Также, учитывая, что \(|\vec{m}| = 1\) и \(|\vec{k}| = 1\), получаем \(\vec{m} \cdot \vec{m} = |\vec{m}|^2 = 1\) и \(\vec{k} \cdot \vec{k} = |\vec{k}|^2 = 1\).

Тогда:

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 1 + 15 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 10 \cdot 1 = 3 + 10 = 13$$

2. Найдем длины векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\):

$$|\vec{a}| = \sqrt{(3\vec{m} + 2\vec{k}) \cdot (3\vec{m} + 2\vec{k})} = \sqrt{9(\vec{m} \cdot \vec{m}) + 12(\vec{m} \cdot \vec{k}) + 4(\vec{k} \cdot \vec{k})} = \sqrt{9 \cdot 1 + 12 \cdot 0 + 4 \cdot 1} = \sqrt{13}$$ $$|\vec{b}| = \sqrt{(\vec{m} + 5\vec{k}) \cdot (\vec{m} + 5\vec{k})} = \sqrt{(\vec{m} \cdot \vec{m}) + 10(\vec{m} \cdot \vec{k}) + 25(\vec{k} \cdot \vec{k})} = \sqrt{1 \cdot 1 + 10 \cdot 0 + 25 \cdot 1} = \sqrt{26}$$

3. Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:

$$\cos{\theta} = \frac{13}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{26}} = \frac{13}{\sqrt{13 \cdot 2 \cdot 13}} = \frac{13}{13\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

4. Найдем угол \(\theta\), косинус которого равен \(\frac{\sqrt{2}}{2}\). Это угол \(45^\circ\).

Ответ: 45