Найдите угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), если дано: \(\vec{m} \perp \vec{n}\); \(|\vec{a}| = 2\); \(|\vec{b}| = \sqrt{2}\); \(\vec{m} = 2\vec{a} - \vec{b}\); \(\vec{n} = \vec{a} - 3\vec{b}\). Ответ запишите в градусах.

$$(\vec{m}, \vec{n}) = 0$$ $$(\vec{m}, \vec{n}) = (2\vec{a} - \vec{b}, \vec{a} - 3\vec{b}) = 2(\vec{a}, \vec{a}) - 6(\vec{a}, \vec{b}) - (\vec{b}, \vec{a}) + 3(\vec{b}, \vec{b}) = 2|\vec{a}|^2 - 7(\vec{a}, \vec{b}) + 3|\vec{b}|^2 = 0$$ $$2 \cdot 2^2 - 7(\vec{a}, \vec{b}) + 3 \cdot (\sqrt{2})^2 = 0$$ $$8 - 7(\vec{a}, \vec{b}) + 6 = 0$$ $$14 - 7(\vec{a}, \vec{b}) = 0$$ $$(\vec{a}, \vec{b}) = 2$$ $$(\vec{a}, \vec{b}) = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos{\theta}$$ $$\cos{\theta} = \frac{(\vec{a}, \vec{b})}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{2}{2 \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\theta = \arccos{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 45^{\circ}$$