Найдите угол между высотой CH и медианой CM прямоугольного треугольника ABC, проведенными из вершины прямого угла, если острый угол B равен 53°.

Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle C = 90^{\circ}\), \(CM\) - медиана, \(CH\) - высота, \(\angle B = 53^{\circ}\). Найти: \(\angle HCM\). Решение: 1. В прямоугольном \(\triangle ABC\) \(\angle A + \angle B = 90^{\circ}\). Отсюда \(\angle A = 90^{\circ} - \angle B = 90^{\circ} - 53^{\circ} = 37^{\circ}\). 2. Медиана \(CM\), проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы, то есть \(CM = AM = BM\). Значит, \(\triangle AMC\) - равнобедренный, и \(\angle MCA = \angle A = 37^{\circ}\). 3. Рассмотрим \(\triangle BCH\). Поскольку \(CH\) - высота, то \(\angle CHB = 90^{\circ}\). Следовательно, \(\angle BCH + \angle B = 90^{\circ}\), и \(\angle BCH = 90^{\circ} - \angle B = 90^{\circ} - 53^{\circ} = 37^{\circ}\). 4. Теперь найдем \(\angle HCM\). \(\angle HCM = \angle BCH - \angle BCM\). Заметим, что \(\angle ACB = \angle MCA + \angle MCB = 90^{\circ}\). Следовательно, \(\angle MCB = 90^{\circ} - \angle MCA = 90^{\circ} - 37^{\circ} = 53^{\circ}\). 5. \(\angle HCM = |\angle BCH - \angle MCB| = |37^{\circ} - 53^{\circ}| = |-16^{\circ}| = 16^{\circ}\). Ответ: \(\angle HCM = 16^{\circ}\). Развернутый ответ: Для начала, нужно понять, что медиана, проведенная из прямого угла прямоугольного треугольника, делит гипотенузу пополам и равна половине гипотенузы. Из этого следует, что треугольник \(AMC\) равнобедренный. Мы нашли угол \(A\), вычтя из 90 градусов угол \(B\). Затем, так как треугольник \(AMC\) равнобедренный, углы \(MCA\) и \(A\) равны. Далее, мы нашли угол \(BCH\), вычтя из 90 градусов угол \(B\). Наконец, чтобы найти угол между медианой и высотой (угол \(HCM\)), мы вычли угол \(MCA\) из угла \(ACB\) чтобы получить угол \(MCB\), а потом нашли разницу между углами \(BCH\) и \(MCB\). Полученное значение равно 16 градусам.