Решение:

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AA_1B$$. В нем $$\angle ABA_1 = 30^\circ$$, а $$AA_1 = \sqrt{2}$$. Найдем гипотенузу $$AB$$:

$$ sin(\angle ABA_1) = \frac{AA_1}{AB}\\ AB = \frac{AA_1}{sin(\angle ABA_1)} = \frac{\sqrt{2}}{sin(30^\circ)} = \frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{2} $$

2. Рассмотрим треугольник $$ABC$$. В нем $$\angle BAC = 60^\circ$$, $$BC = 4$$, $$AB = 2\sqrt{2}$$. Найдем угол $$x = \angle BCA$$ используя теорему синусов:

$$ \frac{BC}{sin(\angle BAC)} = \frac{AB}{sin(\angle BCA)}\\ sin(\angle BCA) = \frac{AB \cdot sin(\angle BAC)}{BC} = \frac{2\sqrt{2} \cdot sin(60^\circ)}{4} = \frac{2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{4} = \frac{\sqrt{6}}{4}\\ \angle BCA = arcsin(\frac{\sqrt{6}}{4}) \approx 37.76^\circ $$

Ответ: $$\angle BCA = arcsin(\frac{\sqrt{6}}{4}) \approx 37.76^\circ$$