3. Найдите вероятность выбросить ровно 7 орлов, 12 раз бросив монету.

Здесь у нас схема Бернулли с n = 12 испытаниями, где успехом является выпадение орла. Вероятность успеха p = 1/2 (так как монета симметричная), и мы хотим ровно k = 7 успехов. Тогда вероятность равна: $$P(X = 7) = C_{12}^7 * p^7 * (1-p)^{12-7} = C_{12}^7 * (1/2)^7 * (1/2)^5 = C_{12}^7 * (1/2)^{12}$$ $$C_{12}^7 = \frac{12!}{7!5!} = \frac{12 * 11 * 10 * 9 * 8}{5 * 4 * 3 * 2 * 1} = 12 * 11 * 3 * 2 = 792$$ $$P(X = 7) = 792 * (1/2)^{12} = \frac{792}{4096} = \frac{99}{512}$$ Ответ: Вероятность равна 99/512.