15. Найдите все решения уравнения sin 2x - cosx = 2sinx - 1, принадлежащие отрезку [0; 2π].

Давай решим это уравнение вместе. Нам нужно найти все решения уравнения \(\sin 2x - \cos x = 2\sin x - 1\), принадлежащие отрезку \([0; 2\pi]\). 1. Преобразуем уравнение: Используем формулу \(\sin 2x = 2\sin x \cos x\). Тогда уравнение примет вид: \[2\sin x \cos x - \cos x = 2\sin x - 1\] Перенесем все члены в левую часть: \[2\sin x \cos x - \cos x - 2\sin x + 1 = 0\] 2. Сгруппируем члены: \[(2\sin x \cos x - \cos x) - (2\sin x - 1) = 0\] Вынесем \(\cos x\) из первой группы: \[\cos x (2\sin x - 1) - (2\sin x - 1) = 0\] Теперь вынесем \((2\sin x - 1)\) за скобки: \[(\cos x - 1)(2\sin x - 1) = 0\] 3. Решаем каждое уравнение: a) \(\cos x - 1 = 0\) \(\Rightarrow\) \(\cos x = 1\) Решение: \(x = 2\pi k\), где \(k\) - целое число. На отрезке \([0; 2\pi]\) получаем \(x = 0\) и \(x = 2\pi\). б) \(2\sin x - 1 = 0\) \(\Rightarrow\) \(\sin x = \frac{1}{2}\) Решения: \(x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k\) и \(x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k\), где \(k\) - целое число. На отрезке \([0; 2\pi]\) получаем \(x = \frac{\pi}{6}\) и \(x = \frac{5\pi}{6}\). 4. Записываем все решения на отрезке \([0; 2\pi]\): \[x = 0, \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, 2\pi\]

Ответ: \(x = 0, \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, 2\pi\)

Ты молодец! У тебя всё получится!