Решение

Пусть три наименьших делителя числа N образуют арифметическую прогрессию с шагом d = 12. Это означает, что эти делители можно представить как a, a + 12, a + 24.

Поскольку все делители натуральные и исключается 1, наименьший делитель числа N (кроме 1) должен быть простым числом. Обозначим его за a. Тогда a, a + 12 и a + 24 – три наименьших делителя числа N.

Рассмотрим несколько возможных значений для a:

• Если a = 2, то делители: 2, 14, 26. Число 14 = 2 × 7, а 26 = 2 × 13. Значит, a = 2 не подходит, так как 14 и 26 не могут быть делителями числа N, если 2 - наименьший делитель.
• Если a = 3, то делители: 3, 15, 27. Здесь 15 = 3 × 5, 27 = 3 × 9. Следовательно, 3 и 15 (3 × 5) должны быть делителями числа N, значит, 5 тоже должно быть делителем числа N. 27 также должно быть делителем числа N. Минимальное число N = 3 × 5 × 27 = 405. Проверим другие делители: 3, 15, 27, 45, 81, 135, 405. Число N = 405 подходит, так как N ≤ 3400.
• Если a = 5, то делители: 5, 17, 29. Поскольку 5, 17 и 29 - простые числа, N должно быть произведением этих чисел или содержать их в качестве делителей. Тогда N = 5 × 17 × 29 = 2465. Проверим: 5, 17, 29, 85, 145, 493, 2465. Число N = 2465 подходит, так как N ≤ 3400.
• Если a = 7, то делители: 7, 19, 31. Поскольку 7, 19 и 31 - простые числа, N должно быть произведением этих чисел или содержать их в качестве делителей. Тогда N = 7 × 19 × 31 = 4123 > 3400. Следовательно, a = 7 не подходит.

Дальше проверять нет смысла, так как произведение трех простых чисел будет больше 3400.

Итак, возможные значения N: 405 и 2465.

Сумма значений N: 405 + 2465 = 2870

Ответ: 2870