34. Найдите высоты треугольника, у которого стороны равны 13 см, 14 см и 15 см.

Для решения данной задачи воспользуемся формулой Герона для нахождения площади треугольника, а затем выразим высоты через площадь и стороны треугольника.

Пусть стороны треугольника $$a = 13 \text{ см}$$, $$b = 14 \text{ см}$$ и $$c = 15 \text{ см}$$.

1. Найдем полупериметр треугольника:

   $$p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21 \text{ см}$$

2. Используем формулу Герона для вычисления площади треугольника:

   $$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} = \sqrt{21(21 - 13)(21 - 14)(21 - 15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{3 \cdot 7 \cdot 2^3 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 3} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 21 = 84 \text{ см}^2$$

3. Выразим высоты треугольника через площадь и стороны:

   Высота $$h_a$$ к стороне $$a$$:

   $$h_a = \frac{2S}{a} = \frac{2 \cdot 84}{13} = \frac{168}{13} \approx 12.92 \text{ см}$$

   Высота $$h_b$$ к стороне $$b$$:

   $$h_b = \frac{2S}{b} = \frac{2 \cdot 84}{14} = \frac{168}{14} = 12 \text{ см}$$

   Высота $$h_c$$ к стороне $$c$$:

   $$h_c = \frac{2S}{c} = \frac{2 \cdot 84}{15} = \frac{168}{15} = \frac{56}{5} = 11.2 \text{ см}$$

Ответ: Высоты треугольника равны: $$\frac{168}{13}$$ см, 12 см и 11.2 см.