Решение

а) Если $$x = -1$$ является корнем уравнения, то подставим это значение в уравнение и найдем $$a$$:

$$a \cdot |2 \cdot (-1) - 3| - 1 = 4$$ $$a \cdot |-2 - 3| - 1 = 4$$ $$a \cdot |-5| - 1 = 4$$ $$5a - 1 = 4$$ $$5a = 5$$ $$a = 1$$

Ответ: $$a = 1$$

б) Уравнение $$|x - a| = a + 1$$ имеет один корень, если $$a + 1 = 0$$, так как в этом случае $$|x - a| = 0$$, что означает $$x = a$$. Тогда $$a = -1$$. Если $$a+1>0$$, то уравнение имеет два корня: $$x = a + a + 1$$ и $$x = a - (a+1)$$.

Ответ: $$a = -1$$

в) Пусть корни уравнения $$|x - a + 2| = 5$$ равны $$x_1$$ и $$x_2$$, причем $$x_1 = -x_2$$. Тогда уравнение распадается на два: $$x - a + 2 = 5$$ и $$x - a + 2 = -5$$ $$x = a + 3$$ и $$x = a - 7$$ Так как корни противоположные, то $$a + 3 = -(a - 7)$$ $$a + 3 = -a + 7$$ $$2a = 4$$ $$a = 2$$

Ответ: $$a = 2$$

г) Уравнение $$|x - a| = 2$$ распадается на два уравнения: $$x - a = 2$$ и $$x - a = -2$$ $$x = a + 2$$ и $$x = a - 2$$ Сумма корней равна: $$(a + 2) + (a - 2) = 2a$$. По условию $$2a = 12$$, следовательно, $$a = 6$$.

Ответ: $$a = 6$$