8 Найдите значение выражения \(\frac{n^5}{n^6}\) \(\cdot \frac{1}{n^{\frac{1}{12}}} \cdot n^4\) при n = 64.

Найдем значение выражения \(\frac{n^5}{n^6} \cdot \frac{1}{n^{\frac{1}{12}}} \cdot n^4\) при n = 64.

Упростим выражение, используя свойства степеней:

\(\frac{n^5}{n^6} \cdot \frac{1}{n^{\frac{1}{12}}} \cdot n^4 = n^{5-6} \cdot n^{-\frac{1}{12}} \cdot n^4 = n^{-1} \cdot n^{-\frac{1}{12}} \cdot n^4 = n^{-1 - \frac{1}{12} + 4} = n^{3 - \frac{1}{12}} = n^{\frac{36}{12} - \frac{1}{12}} = n^{\frac{35}{12}} \)

Подставим n = 64:

\(64^{\frac{35}{12}} = (2^6)^{\frac{35}{12}} = 2^{6 \cdot \frac{35}{12}} = 2^{\frac{35}{2}} = 2^{17,5} = 2^{17 + \frac{1}{2}} = 2^{17} \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{17} \cdot \sqrt{2}\)

Так как нужно найти числовое значение, то:

\(64^{\frac{35}{12}} = (2^6)^{\frac{35}{12}} = 2^{6 \cdot \frac{35}{12}} = 2^{\frac{35}{2}} = \sqrt{2^{35}} = \sqrt{2^{34} \cdot 2} = 2^{17}\sqrt{2} = 131072\sqrt{2}\)

Ответ: \(131072\sqrt{2}\)