Решение

Для решения этого выражения, мы будем использовать свойства степеней.

Выражение:

$$4^{4\sqrt{10}-2} \cdot 4^{4-3\sqrt{10}} \cdot 4^{\sqrt{10}+1}$$

Когда мы умножаем степени с одинаковым основанием, мы складываем их показатели:

$$4^{(4\sqrt{10}-2) + (4-3\sqrt{10}) + (\sqrt{10}+1)}$$

Теперь упростим показатели степени:

$$4\sqrt{10} - 2 + 4 - 3\sqrt{10} + \sqrt{10} + 1$$

Сгруппируем подобные члены:

$$(4\sqrt{10} - 3\sqrt{10} + \sqrt{10}) + (-2 + 4 + 1)$$

Сложим коэффициенты при \(\sqrt{10}\):

$$(4 - 3 + 1)\sqrt{10} = 2\sqrt{10}$$

Сложим константы:

$$-2 + 4 + 1 = 3$$

Таким образом, упрощенный показатель степени равен:

$$2\sqrt{10} + 3$$

Тогда выражение упрощается до:

$$4^{3}$$

Вычислим \(4^3\):

$$4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$$

Ответ:

$$64$$