4. Найдите значение выражения \(\frac{\sqrt[5]{a^2} \cdot a^{-3}}{a^{-4}}\) при \(a = 32\).

Ответ: 4

1. Преобразуем корень в степень: \[\sqrt[5]{a^2} = a^{\frac{2}{5}}\]
2. Перепишем выражение: \[\frac{a^{\frac{2}{5}} \cdot a^{-3}}{a^{-4}}\]
3. Упростим числитель: \[a^{\frac{2}{5}} \cdot a^{-3} = a^{\frac{2}{5} - 3} = a^{\frac{2}{5} - \frac{15}{5}} = a^{-\frac{13}{5}}\]
4. Перепишем выражение: \[\frac{a^{-\frac{13}{5}}}{a^{-4}} = a^{-\frac{13}{5} - (-4)} = a^{-\frac{13}{5} + 4} = a^{-\frac{13}{5} + \frac{20}{5}} = a^{\frac{7}{5}}\]
5. Подставим \(a = 32 = 2^5\): \[(2^5)^{\frac{7}{5}} = 2^{5 \cdot \frac{7}{5}} = 2^7 = 128\]

Ответ: 128