6. Найдите значение выражения \(\frac{n^7}{n^{\frac{13}{6}} \cdot n^9}\) при \(n = 729\).

Ответ: \(\frac{1}{19683}\)

1. Упростим знаменатель: \[n^{\frac{13}{6}} \cdot n^9 = n^{\frac{13}{6} + 9} = n^{\frac{13}{6} + \frac{54}{6}} = n^{\frac{67}{6}}\]
2. Перепишем выражение: \[\frac{n^7}{n^{\frac{67}{6}}} = n^{7 - \frac{67}{6}} = n^{\frac{42}{6} - \frac{67}{6}} = n^{-\frac{25}{6}}\]
3. Подставим \(n = 729 = 3^6\): \[(3^6)^{-\frac{25}{6}} = 3^{6 \cdot (-\frac{25}{6})} = 3^{-25} = \frac{1}{3^{25}}\]
4. Упростим выражение: \[ \frac{1}{3^{25}} = \frac{1}{(3^3)^8 \cdot 3} = \frac{1}{27^8 \cdot 3}\]
5. Теперь мы можем записать это как: \[ \frac{1}{3^{25}} = \frac{1}{(3^6)^{\frac{25}{6}}} = \frac{1}{729^{\frac{25}{6}}} \approx \frac{1}{1,046 \cdot 10^{7}} \]
6. Выражение \(\frac{1}{3^{25}}\) является довольно маленьким числом, и можно оставить ответ в таком виде. То есть: \(\frac{1}{3^{25}}\) или \(3^{-25}\).
7. Мы знаем, что \(729 = 3^6\), следовательно, \(n^{-\frac{25}{6}} = (3^6)^{-\frac{25}{6}} = 3^{-25} = \frac{1}{3^{25}}\) \[ 3^{25} = 3^{3 \cdot 8 + 1} = (3^3)^8 \cdot 3 = 27^8 \cdot 3 = 19683 \cdot 3 \]

Ответ: \(\frac{1}{3^{25}}\)