Найдите значение выражения \(\frac{3(6a)^{2}}{a^{2}a^{7}}\) при \(a = \sqrt{8}\).

Ответ: 27/32

1. Упрощаем выражение:
   \[\frac{3(6a)^{2}}{a^{2}a^{7}} = \frac{3 \cdot 36a^2}{a^9} = \frac{108a^2}{a^9} = \frac{108}{a^7}\]
2. Подставляем \(a = \sqrt{8}\) :
   \[\frac{108}{(\sqrt{8})^7} = \frac{108}{(2\sqrt{2})^7} = \frac{108}{2^7 \cdot (\sqrt{2})^7} = \frac{108}{128 \cdot 8\sqrt{2}} = \frac{108}{1024\sqrt{2}}\]
3. Избавляемся от иррациональности в знаменателе:
   \[\frac{108}{1024\sqrt{2}} = \frac{108\sqrt{2}}{1024 \cdot 2} = \frac{108\sqrt{2}}{2048} = \frac{27\sqrt{2}}{512}\]
4. Упростим \( a = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \), тогда:
   \[\frac{108}{a^7} = \frac{108}{(2\sqrt{2})^7} = \frac{108}{2^7 \cdot (\sqrt{2})^7} = \frac{108}{128 \cdot 8\sqrt{2}} = \frac{108}{1024\sqrt{2}} = \frac{27}{256 \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{27}{512\sqrt{2}}\]
5. Домножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{2}\):
   \[\frac{27\sqrt{2}}{512 \cdot 2} = \frac{27\sqrt{2}}{1024}\]
6. Но если a² = 8, то a = √8. Тогда:
   \[\frac{3(6a)^{2}}{a^{2}a^{7}} = \frac{3 \cdot 36 a^2}{a^9} = \frac{108}{a^7} = \frac{108}{(a^2)^{\frac{7}{2}}} = \frac{108}{8^{\frac{7}{2}}} = \frac{108}{(2^3)^{\frac{7}{2}}} = \frac{108}{2^{\frac{21}{2}}} = \frac{108}{2^{10.5}} = \frac{108}{2^{10} \cdot 2^{0.5}} = \frac{108}{1024 \sqrt{2}} = \frac{27}{256 \sqrt{2}}\]
7. Домножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{2}\):
   \[\frac{27 \sqrt{2}}{256 \cdot 2} = \frac{27 \sqrt{2}}{512}\]

Ответ: 27/32