17. Найдите значение выражения \( \sqrt{88 + 32\sqrt{6}} - 2\sqrt{6} \).

Пошаговое решение:

Преобразуем выражение под корнем, чтобы представить его в виде квадрата суммы или разности:

\[ 88 + 32\sqrt{6} = (a + b\sqrt{6})^2 = a^2 + 2ab\sqrt{6} + 6b^2 \]

Нужно подобрать такие a и b, чтобы выполнялись условия:

\[ a^2 + 6b^2 = 88 \]

\[ 2ab = 32 \]

Тогда \( ab = 16 \), следовательно \( a = \frac{16}{b} \).

Подставляем в первое уравнение:

\[ (\frac{16}{b})^2 + 6b^2 = 88 \]

\[ \frac{256}{b^2} + 6b^2 = 88 \]

Умножаем на \( b^2 \):

\[ 256 + 6b^4 = 88b^2 \]

Получаем биквадратное уравнение:

\[ 6b^4 - 88b^2 + 256 = 0 \]

Делим на 2:

\[ 3b^4 - 44b^2 + 128 = 0 \]

Пусть \( t = b^2 \), тогда уравнение примет вид:

\[ 3t^2 - 44t + 128 = 0 \]

Решаем квадратное уравнение:

\[ D = (-44)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 128 = 1936 - 1536 = 400 \]

\[ t_1 = \frac{44 + \sqrt{400}}{2 \cdot 3} = \frac{44 + 20}{6} = \frac{64}{6} = \frac{32}{3} \]

\[ t_2 = \frac{44 - \sqrt{400}}{2 \cdot 3} = \frac{44 - 20}{6} = \frac{24}{6} = 4 \]

Тогда \( b^2 = 4 \) или \( b^2 = \frac{32}{3} \). Учитывая, что числа должны быть целыми, подходит вариант \( b = 2 \).

Тогда \( a = \frac{16}{2} = 8 \).

Следовательно, \( \sqrt{88 + 32\sqrt{6}} = 8 + 2\sqrt{6} \).

Теперь можем вычислить исходное выражение:

\[ 8 + 2\sqrt{6} - 2\sqrt{6} = 8 \]

Ответ: 8