Найдите значение выражения \( m=\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot n \), если \(\begin{pmatrix} 1 \\ 5m \end{pmatrix}\) и \(\begin{pmatrix} 1 \\ \frac{3}{5} n \end{pmatrix}\) колинеарны

Ответ: 5/3

• Шаг 1: Условие коллинеарности векторов: Если векторы \(\vec{a} = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}\) и \(\vec{b} = \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix}\) коллинеарны, то выполняется условие: \(\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}\)
• Шаг 2: Используем условие коллинеарности для заданных векторов: \(\frac{1}{1} = \frac{5m}{\frac{3}{5}n}\)
• Шаг 3: Упрощаем уравнение: \(1 = \frac{25m}{3n}\), откуда \(3n = 25m\) или \(n = \frac{25m}{3}\)
• Шаг 4: Подставляем выражение для n в формулу \( m = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot n\): \(m = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{25m}{3}\)
• Шаг 5: Решаем уравнение относительно m: \(1 = \frac{25}{3\sqrt{3}}\) (что неверно, значит m = 0) Но, поскольку нас просят найти n, а m = 0, выразим m через n: \(m = \frac{3n}{25}\)
• Шаг 6: Подставим найденное значение m в исходное выражение: \(\frac{3n}{25} = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot n\)
• Шаг 7: Решим уравнение: \(\frac{3}{25} = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow n = \frac{3\sqrt{3}}{25}\)
• Шаг 8: Нам нужно найти \(m = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot n = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{25} = \frac{3}{25}\)

Ответ: 3/25