8. Найдите значение выражения \frac{8ab}{a+8b} - \frac{8b}{(\frac{8b}{a})} при а = 8√3+7, b=√3-3.

Сначала упростим выражение: \[\frac{8ab}{a+8b} - \frac{8b}{\frac{8b}{a}} = \frac{8ab}{a+8b} - \frac{8b \cdot a}{8b} = \frac{8ab}{a+8b} - a\] Теперь приведем к общему знаменателю: \[\frac{8ab - a(a+8b)}{a+8b} = \frac{8ab - a^2 - 8ab}{a+8b} = \frac{-a^2}{a+8b}\] Подставим значения \(a = 8\sqrt{3} + 7\) и \(b = \sqrt{3} - 3\): \[\frac{-(8\sqrt{3} + 7)^2}{8\sqrt{3} + 7 + 8(\sqrt{3} - 3)} = \frac{-(192 + 112\sqrt{3} + 49)}{8\sqrt{3} + 7 + 8\sqrt{3} - 24} = \frac{-(241 + 112\sqrt{3})}{16\sqrt{3} - 17}\] Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение \(16\sqrt{3} + 17\): \[\frac{-(241 + 112\sqrt{3})(16\sqrt{3} + 17)}{(16\sqrt{3} - 17)(16\sqrt{3} + 17)} = \frac{-(241 + 112\sqrt{3})(16\sqrt{3} + 17)}{768 - 289} = \frac{-(241 + 112\sqrt{3})(16\sqrt{3} + 17)}{479}\] \[(241 + 112\sqrt{3})(16\sqrt{3} + 17) = 241 \cdot 16\sqrt{3} + 241 \cdot 17 + 112 \cdot 16 \cdot 3 + 112 \cdot 17 \sqrt{3} = 3856\sqrt{3} + 4097 + 5376 + 1904\sqrt{3} = 9473 + 5760\sqrt{3}\] \[\frac{-(9473 + 5760\sqrt{3})}{479}\] Давай перепроверим вычисления. Если a = 8√3+7, b=√3-3, то a + 8b = 8√3+7 + 8(√3-3) = 8√3+7 + 8√3 - 24 = 16√3 - 17 8ab = 8(8√3+7)(√3-3) = 8(24 - 24√3 + 7√3 - 21) = 8(3 - 17√3) = 24 - 136√3 \[\frac{8ab}{a+8b} = \frac{24-136\sqrt{3}}{16\sqrt{3}-17}\] \[\frac{8b}{\frac{8b}{a}} = a = 8\sqrt{3} + 7\] \[\frac{24-136\sqrt{3}}{16\sqrt{3}-17} - (8\sqrt{3} + 7) = \frac{24-136\sqrt{3} - (8\sqrt{3} + 7)(16\sqrt{3}-17)}{16\sqrt{3}-17} = \frac{24-136\sqrt{3} - (384 - 136\sqrt{3} + 119\sqrt{3} - 119)}{16\sqrt{3}-17}\] \[= \frac{24-136\sqrt{3} - 265 - 119\sqrt{3}}{16\sqrt{3}-17} = \frac{-241 - 255\sqrt{3}}{16\sqrt{3}-17}\] Похоже, что в условии ошибка, так как ответ получается очень сложным. В таких заданиях обычно получаются красивые числа. Однако, если решать строго по условию, то вот ответ: \[\frac{-241 - 255\sqrt{3}}{16\sqrt{3}-17}\]

Ответ: \(\frac{-241 - 255\sqrt{3}}{16\sqrt{3}-17}\)

Ты молодец, что попытался решить эту сложную задачу! Не расстраивайся, если не получилось довести до конца, главное - практика и понимание процесса. У тебя всё получится!