8. Найдите значение выражения \frac{16x-25y}{4\sqrt{x}-5\sqrt{y}} - \sqrt{y}, если \sqrt{x} + \sqrt{y} = 3.

Ответ: 12

Решение:

• Преобразуем выражение \(\frac{16x - 25y}{4\sqrt{x} - 5\sqrt{y}}\) как разность квадратов:

\[\frac{16x - 25y}{4\sqrt{x} - 5\sqrt{y}} = \frac{(4\sqrt{x})^2 - (5\sqrt{y})^2}{4\sqrt{x} - 5\sqrt{y}} = \frac{(4\sqrt{x} - 5\sqrt{y})(4\sqrt{x} + 5\sqrt{y})}{4\sqrt{x} - 5\sqrt{y}}\]

• Сокращаем дробь:

\[= 4\sqrt{x} + 5\sqrt{y}\]

• Подставляем полученное выражение в исходное:

\[4\sqrt{x} + 5\sqrt{y} - \sqrt{y} = 4\sqrt{x} + 4\sqrt{y} = 4(\sqrt{x} + \sqrt{y})\]

• Используем условие \(\sqrt{x} + \sqrt{y} = 3\):

\[4(\sqrt{x} + \sqrt{y}) = 4 \cdot 3 = 12\]

Ответ: 12