Найдите значение выражения $$3^{\sqrt{2}+4} \cdot 3^{-3-\sqrt{2}}$$.

Для решения этого выражения, мы можем использовать свойства степеней. 1. Свойство умножения степеней с одинаковым основанием: Когда мы умножаем степени с одинаковым основанием, мы складываем их показатели. То есть, $$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$. 2. Применим это свойство к нашему выражению: $$3^{\sqrt{2}+4} \cdot 3^{-3-\sqrt{2}} = 3^{(\sqrt{2}+4) + (-3-\sqrt{2})}$$ 3. Упростим показатель степени: $$(\sqrt{2}+4) + (-3-\sqrt{2}) = \sqrt{2} + 4 - 3 - \sqrt{2} = (\sqrt{2} - \sqrt{2}) + (4 - 3) = 0 + 1 = 1$$ 4. Получаем: $$3^1 = 3$$ Ответ: 3