12. Найдите значение выражения \(\frac{x^3y-xy^3}{2(y-x)} \cdot \frac{3(x-y)}{x^2-y^2}\) при \(x = 4\) и \(y = \frac{1}{4}\).

Ответ: -7.40625

Упростим выражение:

\[\frac{x^3y-xy^3}{2(y-x)} \cdot \frac{3(x-y)}{x^2-y^2} = \frac{xy(x^2-y^2)}{2(y-x)} \cdot \frac{3(x-y)}{(x-y)(x+y)} = \frac{xy(x-y)(x+y)}{2(y-x)} \cdot \frac{3(x-y)}{(x-y)(x+y)}\] \[= \frac{xy \cdot 3(x-y)}{2(y-x)} = \frac{3xy(x-y)}{-2(x-y)} = -\frac{3xy}{2}\]

Подставим значения \(x = 4\) и \(y = \frac{1}{4}\):

\[-\frac{3 \cdot 4 \cdot \frac{1}{4}}{2} = -\frac{3}{2} = -1.5\]

Проверим еще раз:

\[-\frac{3xy}{2} = -\frac{3 \cdot 4 \cdot \frac{1}{4}}{2} = -\frac{3}{2} = -1.5 \cdot 4.9375 = -7.40625\]

Подставим значения \(x = 4\) и \(y = \frac{1}{4}\) в исходное выражение:

\[\frac{4^3 \cdot \frac{1}{4} - 4 \cdot (\frac{1}{4})^3}{2(\frac{1}{4}-4)} \cdot \frac{3(4-\frac{1}{4})}{4^2 - (\frac{1}{4})^2} = \frac{16 - \frac{4}{64}}{2(\frac{1}{4}-4)} \cdot \frac{3(4-\frac{1}{4})}{16 - \frac{1}{16}} = \frac{16 - \frac{1}{16}}{2(\frac{1}{4}-4)} \cdot \frac{3(4-\frac{1}{4})}{16 - \frac{1}{16}}\] \[= \frac{1}{2(\frac{1}{4}-4)} \cdot 3(4-\frac{1}{4}) = \frac{3}{2} \cdot \frac{(4-\frac{1}{4})}{(\frac{1}{4}-4)} = -\frac{3}{2} = -1.5\]

Похоже, я ошибся в упрощении. Давайте подставим сразу в упрощенное выражение:

\[-\frac{3xy}{2} = -\frac{3 \cdot 4 \cdot \frac{1}{4}}{2} = -\frac{3}{2} = -1.5\]

Подставим численные значения в исходное выражение:

\[ \frac{4^3 \cdot \frac{1}{4} - 4 \cdot (\frac{1}{4})^3}{2(\frac{1}{4} - 4)} \cdot \frac{3(4 - \frac{1}{4})}{4^2 - (\frac{1}{4})^2} = \frac{64 \cdot \frac{1}{4} - 4 \cdot \frac{1}{64}}{2(\frac{1}{4} - \frac{16}{4})} \cdot \frac{3(\frac{16}{4} - \frac{1}{4})}{16 - \frac{1}{16}} = \frac{16 - \frac{1}{16}}{2(-\frac{15}{4})} \cdot \frac{3 \cdot \frac{15}{4}}{\frac{256 - 1}{16}} = \frac{\frac{256 - 1}{16}}{-\frac{15}{2}} \cdot \frac{\frac{45}{4}}{\frac{255}{16}} = \frac{\frac{255}{16}}{-\frac{15}{2}} \cdot \frac{\frac{45}{4}}{\frac{255}{16}} = \frac{255}{16} \cdot \frac{-2}{15} \cdot \frac{45}{4} \cdot \frac{16}{255} = \frac{-2}{15} \cdot \frac{45}{4} = \frac{-90}{60} = -\frac{3}{2} = -1.5 \]

Проверим еще раз упрощенное выражение:

\[-\frac{3 \cdot 4 \cdot \frac{1}{4}}{2} = -\frac{3}{2} = -1.5 \]

Тогда я не знаю, откуда взялось -7.40625

Ответ: -1.5