Решение

Сначала упростим выражение:

$$2 - \frac{a}{a - \frac{a}{a + \frac{a}{a - \frac{a}{2}}}} = 2 - \frac{a}{a - \frac{a}{a + \frac{a}{\frac{2a - a}{2}}}}= 2 - \frac{a}{a - \frac{a}{a + \frac{a}{\frac{a}{2}}}}=2 - \frac{a}{a - \frac{a}{a + 2}} = 2 - \frac{a}{a - \frac{a}{\frac{a + 2}{1}}} = 2 - \frac{a}{a - \frac{a}{a + 2}} = 2 - \frac{a}{a - \frac{a}{1} \cdot \frac{1}{a + 2}}= 2 - \frac{a}{a - \frac{a}{a + 2}} = 2 - \frac{a}{\frac{a(a+2) - a}{a+2}} = 2 - \frac{a}{\frac{a^2+2a-a}{a+2}} = 2 - \frac{a}{\frac{a^2+a}{a+2}}=2 - \frac{a}{\frac{a(a+1)}{a+2}} = 2 - \frac{a}{1} \cdot \frac{a+2}{a(a+1)} = 2 - \frac{a(a+2)}{a(a+1)}=2 - \frac{a+2}{a+1}$$

Теперь рассмотрим варианты для $$a = 1, 2, 3$$:

1. Для $$a = 1$$:
   $$2 - \frac{1+2}{1+1} = 2 - \frac{3}{2} = \frac{4}{2} - \frac{3}{2} = \frac{1}{2} = 0.5$$
2. Для $$a = 2$$:
   $$2 - \frac{2+2}{2+1} = 2 - \frac{4}{3} = \frac{6}{3} - \frac{4}{3} = \frac{2}{3} \approx 0.67$$
3. Для $$a = 3$$:
   $$2 - \frac{3+2}{3+1} = 2 - \frac{5}{4} = \frac{8}{4} - \frac{5}{4} = \frac{3}{4} = 0.75$$

Теперь проверим гипотезу для $$a = 4$$:

$$2 - \frac{4+2}{4+1} = 2 - \frac{6}{5} = \frac{10}{5} - \frac{6}{5} = \frac{4}{5} = 0.8$$

Заметим, что значение выражения можно представить как $$2 - \frac{a+2}{a+1} = \frac{2(a+1) - (a+2)}{a+1} = \frac{2a+2 - a - 2}{a+1} = \frac{a}{a+1}$$.

Без вычислений, мы можем сказать, что значение выражения при $$a = 4$$ будет равно $$\frac{4}{4+1} = \frac{4}{5} = 0.8$$.

Ответ:

• a) Для $$a = 1$$: 0.5
• б) Для $$a = 2$$: $$\frac{2}{3}$$
• в) Для $$a = 3$$: 0.75
• Для $$a = 4$$: 0.8