Найдите значение выражения $$2\sqrt{2}\cos\frac{\alpha}{8}$$, если $$\cos\frac{\alpha}{4} = -\frac{1}{4}$$, а $$\frac{\alpha}{4} ∈ (\frac{\pi}{2}; \pi)$$.

Решение:

Воспользуемся формулой косинуса половинного угла: \(\cos x = 2\cos^2 \frac{x}{2} - 1\). Отсюда \(\cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2}\) и \(\cos \frac{x}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}}\).

В нашем случае \(x = \frac{\alpha}{4}\), тогда \(\frac{x}{2} = \frac{\alpha}{8}\).

\(\cos \frac{\alpha}{8} = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos \frac{\alpha}{4}}{2}}\).

По условию \(\cos \frac{\alpha}{4} = -\frac{1}{4}\).

\(\cos \frac{\alpha}{8} = \pm\sqrt{\frac{1 - \frac{1}{4}}{2}} = \pm\sqrt{\frac{\frac{3}{4}}{2}} = \pm\sqrt{\frac{3}{8}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\).

Условие \(\frac{\alpha}{4} ∈ (\frac{\pi}{2}; \pi)\) означает, что \(\frac{\alpha}{4}\) находится во второй четверти. Следовательно, \(\frac{\alpha}{8}\) будет находиться в первой четверти (так как \(\frac{\pi}{8}\) < \(\frac{\alpha}{8}\) < \(\frac{\pi}{4}\)). В первой четверти косинус положителен.

Значит, \(\cos \frac{\alpha}{8} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\).

Теперь найдём значение выражения $$2\sqrt{2}\cos\frac{\alpha}{8}$$:

$$2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \sqrt{3}\).

Ответ: $$\(\sqrt{3}\)$$