Найдите значение выражения 60*tg²(B), если sin(3B)/sin(B) + cos(3B)/cos(B) = 1.

Задание B19: Вычисление значения выражения

Начнём с условия:

\[ \frac{\sin(3B)}{\sin(B)} + \frac{\cos(3B)}{\cos(B)} = 1 \]

Приведём к общему знаменателю:

\[ \frac{\sin(3B)\cos(B) + \cos(3B)\sin(B)}{\sin(B)\cos(B)} = 1 \]

Используем формулы суммы синусов и косинусов:

\( \sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \)

\[ \sin(3B+B) = 1 \cdot \sin(B)\cos(B) \]

\[ \sin(4B) = \sin(B)\cos(B) \]

Известно, что \( \sin(2B) = 2\sin(B)\cos(B) \), следовательно, \( \sin(B)\cos(B) = \frac{1}{2} \sin(2B) \).

Тогда:

\[ \sin(4B) = \frac{1}{2} \sin(2B) \]

Используем формулу двойного угла для \( \sin(4B) \): \( \sin(4B) = 2 \sin(2B) \cos(2B) \).

\[ 2 \sin(2B) \cos(2B) = \frac{1}{2} \sin(2B) \]

Перенесём всё в одну часть:

\[ 2 \sin(2B) \cos(2B) - \frac{1}{2} \sin(2B) = 0 \]

Вынесем \( \sin(2B) \) за скобки:

\[ \sin(2B) \left( 2 \cos(2B) - \frac{1}{2} \right) = 0 \]

Отсюда следуют два случая:

Случай 1: \( \sin(2B) = 0 \)

Если \( \sin(2B) = 0 \), то \( 2B = \pi k \), где \( k \) — целое число. \( B = \frac{ \pi k}{2} \). В этом случае \( \sin(B) = 0 \) или \( \cos(B) = 0 \) (при \( k=1 \), \( B=\frac{ \pi}{2} \), \( \cos(B)=0 \); при \( k=2 \), \( B = \pi \), \( \sin(B)=0 \)). Знаменатели в исходном выражении обращаются в ноль, поэтому этот случай не подходит.

Случай 2: \( 2 \cos(2B) - \frac{1}{2} = 0 \)

\[ 2 \cos(2B) = \frac{1}{2} \]

\[ \cos(2B) = \frac{1}{4} \]

Теперь нам нужно найти \( g^2(B) \). Используем формулу для \( g^2(B) \) через \( \cos(2B) \):

\[ g^2(B) = \frac{1 - \cos(2B)}{1 + \cos(2B)} \]

Подставим значение \( \cos(2B) = \frac{1}{4} \):

\[ g^2(B) = \frac{1 - \frac{1}{4}}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{4}} = \frac{3}{5} \]

Наконец, найдём значение выражения \( 60 g^2(B) \):

\[ 60 g^2(B) = 60 \frac{3}{5} = 12 3 = 36 \]

Ответ: 36