Сфера касается всех сторон выпуклого четырехугольника ABCD, диагонали AC и BD которого перпендикулярны и пересекаются в точке О. Известно, что AO = 8, OC = 4,5, BO = OD = 6. Найдите объем V пирамиды KABCD, если площадь сферы равна 49π. (К - центр сферы). В ответ запишите значение выражения 7V.

Решение:

1. Найдём площадь основания пирамиды (площадь четырёхугольника ABCD).
   Так как диагонали перпендикулярны, площадь четырёхугольника равна половине произведения диагоналей: \( S_{ABCD} = \frac{1}{2} · AC · BD \)
   \( AC = AO + OC = 8 + 4.5 = 12.5 \)
   \( BD = BO + OD = 6 + 6 = 12 \)
   \( S_{ABCD} = \frac{1}{2} · 12.5 · 12 = 12.5 · 6 = 75 \).
2. Найдём радиус сферы.
   Площадь сферы равна \( S_{сферы} = 4 \pi R^2 \).
   По условию \( S_{сферы} = 49 \pi \).
   \( 4 \pi R^2 = 49 \pi \)
   \( R^2 = \frac{49}{4} \)
   \( R = \sqrt{\frac{49}{4}} = \frac{7}{2} = 3.5 \).
3. Найдём высоту пирамиды (расстояние от центра сферы до основания).
   Так как сфера касается всех сторон четырёхугольника, расстояние от центра сферы до каждой стороны одинаково и равно радиусу сферы \( R = 3.5 \). Это означает, что высота пирамиды \( h = R = 3.5 \).
4. Найдём объём пирамиды.
   Объём пирамиды равен \( V = \frac{1}{3} S_{ABCD} · h \).
   \( V = \frac{1}{3} · 75 · 3.5 = 25 · 3.5 = 87.5 \).
5. Найдём значение выражения 7V.
   \( 7V = 7 · 87.5 = 612.5 \).

Ответ: 612.5