Сфера касается всех сторон выпуклого четырехугольника ABCD, диагонали AC и BD которого перпендикулярны и пересекаются в точке О. Известно, что AO = 8, OC = 4,5, BO = OD = 6. Найдите объем V пирамиды KABCD, если площадь сферы равна 49π. (К - центр сферы). В ответ запишите значение выражения 7V.

Задание B20: Объём пирамиды

1. Найдём площадь основания пирамиды (площадь четырёхугольника ABCD).

Четырёхугольник ABCD является описанным (сфера касается всех его сторон). Диагонали AC и BD перпендикулярны. Площадь такого четырёхугольника вычисляется по формуле:

\[ S_{ABCD} = \frac{1}{2} d_1 d_2 \]

Где \( d_1 \) и \( d_2 \) — длины диагоналей.

\( AC = AO + OC = 8 + 4.5 = 12.5 \)

\( BD = BO + OD = 6 + 6 = 12 \)

\[ S_{ABCD} = \frac{1}{2} 12.5 12 = 12.5 6 = 75 \]

2. Найдём радиус сферы.

Площадь сферы равна \( S_{сферы} = 4 R^2 \), где \( R \) — радиус сферы.

По условию \( S_{сферы} = 49 \). Следовательно:

\[ 4 R^2 = 49 \]

\[ R^2 = \frac{49}{4} \]

\[ R = \frac{7}{2} = 3.5 \]

3. Найдем высоту пирамиды.

Сфера касается всех сторон четырёхугольника ABCD. Так как диагонали перпендикулярны, четырёхугольник ABCD можно вписать в окружность. Сфера, касающаяся всех сторон четырёхугольника, является вписанной в четырёхугольник. Центр вписанной сферы равноудалён от всех сторон четырёхугольника. Высота пирамиды (расстояние от центра сферы K до плоскости основания ABCD) равна радиусу вписанной сферы, если бы сфера касалась основания. Однако, сфера касается сторон, а не плоскости основания. Это означает, что центр сферы K находится на одинаковом расстоянии от каждой из сторон четырёхугольника.

Для четырёхугольника, описанного около окружности (и, следовательно, касающегося вписанной сферы), сумма противоположных сторон равна: \( AB + CD = BC + AD \).

В данном случае, так как сфера касается всех сторон, то четырёхугольник можно вписать в окружность. Это возможно только для равнобедренной трапеции или ромба. Так как диагонали равны \( AC = 12.5 \) и \( BD = 12 \), это не ромб. Если это равнобедренная трапеция, то диагонали равны, что здесь не так. Значит, это не так просто.

Важное свойство: Если сфера касается всех сторон описанного четырёхугольника, то её центр равноудалён от сторон. Высота пирамиды (расстояние от вершины K до плоскости основания ABCD) равна радиусу вписанной сферы, т.е. \( h = R = 3.5 \).

4. Найдем объём пирамиды.

Объём пирамиды вычисляется по формуле:

\[ V = \frac{1}{3} S_{основания} h \]

\[ V = \frac{1}{3} 75 3.5 \]

\[ V = 25 3.5 = 87.5 \]

5. Найдем значение выражения 7V.

\[ 7V = 7 87.5 \]

\[ 7V = 612.5 \]

Проверка условия: Сфера касается всех сторон выпуклого четырёхугольника. Это означает, что четырёхугольник описанный. Для описанного четырёхугольника сумма противоположных сторон равна: \( AB + CD = BC + AD \).

Диагонали перпендикулярны. Если в четырёхугольнике диагонали перпендикулярны, его площадь равна \( S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \). Это мы использовали.

Если сфера касается всех сторон четырёхугольника, то расстояние от центра сферы до каждой из сторон одинаково и равно радиусу сферы. Это означает, что центр сферы является центром вписанной сферы, и это расстояние является высотой пирамиды, если бы точка K проецировалась в центр вписанной окружности. Однако, K - центр сферы, и она касается сторон. Это означает, что точка K находится на одинаковом расстоянии от каждой из сторон. Это расстояние и есть радиус сферы R.

Переосмысление: Если сфера касается всех сторон четырёхугольника, то центр этой сферы (точка K) находится на одинаковом расстоянии от всех сторон. Это расстояние равно радиусу сферы R. Это расстояние является высотой пирамиды (h) только в том случае, если основание пирамиды лежит в плоскости, проходящей через точки касания сферы со сторонами, что здесь не так. То есть, центр сферы K находится на расстоянии h от плоскости основания ABCD, и эта высота h равна радиусу сферы R. Таким образом, \( h = R = 3.5 \).

Уточнение: Для четырёхугольника, описанного около окружности, сумма противоположных сторон равна. \( AB + CD = BC + AD \).

Площадь четырёхугольника, у которого перпендикулярны диагонали: \( S = \frac{1}{2} AC BD \). Это верно.

Для четырёхугольника, описанного около окружности, радиус вписанной окружности \( r = \frac{S}{p} \), где p — полупериметр. В данном случае, сфера касается сторон. Это значит, что существует вписанная сфера. Центр сферы K равноудален от всех сторон, расстояние равно R. Это расстояние от центра сферы до каждой из сторон. Если бы K проецировалось в центр вписанной окружности, то h=R. В случае, если сфера касается всех сторон, то основание ABCD является описанным четырёхугольником. Высота пирамиды (расстояние от K до плоскости ABCD) равна радиусу вписанной сферы. Верно, \( h = R \).

\[ V = \frac{1}{3} 75 3.5 = 87.5 \]

\[ 7V = 7 87.5 = 612.5 \]

Ответ: 612.5