Найдите значение выражения √7.45.√35.

Решение:

Для нахождения значения выражения \( \sqrt{7.45} \cdot \sqrt{35} \) воспользуемся свойством корней \( \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} \).

Сначала преобразуем десятичную дробь в обыкновенную:

\( 7.45 = 7 \frac{45}{100} = 7 \frac{9}{20} = \frac{7 \cdot 20 + 9}{20} = \frac{140 + 9}{20} = \frac{149}{20} \).

Теперь подставим это значение в выражение:

\[ \sqrt{\frac{149}{20}} \cdot \sqrt{35} = \sqrt{\frac{149}{20} \cdot 35} \]

Сократим дробь:

\[ \sqrt{\frac{149}{20} \cdot 35} = \sqrt{\frac{149 \cdot 35}{20}} = \sqrt{\frac{149 \cdot 7 \cdot 5}{4 \cdot 5}} = \sqrt{\frac{149 \cdot 7}{4}} \]

Вычислим числитель:

\[ 149 \cdot 7 = (150 - 1) \cdot 7 = 1050 - 7 = 1043 \]

Таким образом, получаем:

\[ \sqrt{\frac{1043}{4}} = \frac{\sqrt{1043}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{1043}}{2} \]

Проверим, можно ли упростить \( \sqrt{1043} \). Разложим 1043 на простые множители. Попробуем делители: 7 (уже нашли, что \( 1043 = 149 \cdot 7 \)), 11, 13, 17, 19, 23...

1043 не делится на 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31. \( \sqrt{1043} \) не упрощается.

Альтернативный подход:

Можно заметить, что \( 7.45 = 745/100 \) и \( 35 \).

\( \sqrt{7.45} \cdot \sqrt{35} = \sqrt{\frac{745}{100}} \cdot \sqrt{35} = \frac{\sqrt{745}}{10} \cdot \sqrt{35} = \frac{\sqrt{5 \cdot 149 \cdot 5 \cdot 7}}{10} = \frac{\sqrt{25 \cdot 149 \cdot 7}}{10} = \frac{5 \sqrt{149 \cdot 7}}{10} = \frac{\sqrt{1043}}{2} \)

Ответ: \( \frac{\sqrt{1043}}{2} \).