Найдите значение выражения a¹⁷ ⋅ (b⁷)² / (a ⋅ b)¹⁶ при a = 3 и b = √2.

Решение:

Сначала упростим выражение, используя свойства степеней:

1. \( \frac{a^{17} ∙ (b^7)^2}{(a ∙ b)^{16}} = \frac{a^{17} ∙ b^{7 ∙ 2}}{a^{16} ∙ b^{16}} = \frac{a^{17} ∙ b^{14}}{a^{16} ∙ b^{16}} \)
2. Теперь сократим степени с одинаковыми основаниями:
• \( a^{17-16} = a^1 = a \)
• \( b^{14-16} = b^{-2} = \frac{1}{b^2} \)
3. Таким образом, упрощённое выражение равно:
• \( a ∙ \frac{1}{b^2} = \frac{a}{b^2} \)

Теперь подставим данные значения \( a = 3 \) и \( b = \sqrt{2} \):

1. \( a = 3 \)
2. \( b^2 = (\sqrt{2})^2 = 2 \)
3. Подставляем в упрощённое выражение:
• \( \frac{a}{b^2} = \frac{3}{2} \)

Ответ: \( \frac{3}{2} \).