Найдите значение выражения \(\frac{10^9}{(2^5)^2 \cdot 5^7}\).

Решение:

Упростим выражение, используя свойства степеней:

\( \frac{10^9}{(2^5)^2 \cdot 5^7} = \frac{(2 \cdot 5)^9}{2^{5 \cdot 2} \cdot 5^7} = \frac{2^9 \cdot 5^9}{2^{10} \cdot 5^7} \)

Теперь разделим степени с одинаковыми основаниями:

\( \frac{2^9 \cdot 5^9}{2^{10} \cdot 5^7} = \frac{5^{9-7}}{2^{10-9}} = \frac{5^2}{2^1} = \frac{25}{2} \)

Представим результат в виде смешанной дроби:

\( \frac{25}{2} = 12 \frac{1}{2} \)

Ответ: $$\frac{25}{2}$$