Найдите значение выражения $$\frac{2(4a^{3})}{a^{6}a^{8}}$$ при а = √20.

Краткое пояснение:

Чтобы найти значение выражения, сначала упростим его, используя свойства степеней, а затем подставим значение a.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Упрощаем выражение.
   Используем правило умножения степеней с одинаковым основанием: $$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}$$.
   $$a^{6} \cdot a^{8} = a^{6+8} = a^{14}$$.
   Теперь выражение выглядит так: $$\frac{2(4a^{3})}{a^{14}}$$.
   Умножаем числитель: $$2 \cdot 4a^{3} = 8a^{3}$$.
   Выражение стало: $$\frac{8a^{3}}{a^{14}}$$.
   Используем правило деления степеней с одинаковым основанием: $$\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}$$.
   $$\frac{8a^{3}}{a^{14}} = 8a^{3-14} = 8a^{-11}$$.
   Также можем записать как $$\frac{8}{a^{11}}$$.
2. Шаг 2: Подставляем значение a = √20.
   $$a = \sqrt{20}$$.
   $$a^{11} = (\sqrt{20})^{11}$$.
   $$a^{2} = 20$$.
   $$a^{11} = a^{10} \cdot a = (a^{2})^{5} \cdot a = (20)^{5} \cdot \sqrt{20}$$.
   $$20^{5} = 20 \cdot 20 \cdot 20 \cdot 20 \cdot 20 = 3 200 000$$.
   $$a^{11} = 3 200 000 \sqrt{20}$$.
   Выражение: $$\frac{8}{3 200 000 \sqrt{20}}$$.
3. Шаг 3: Дальнейшее упрощение.
   $$\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$$.
   $$a^{11} = 3 200 000 \cdot 2\sqrt{5} = 6 400 000\sqrt{5}$$.
   Выражение: $$\frac{8}{6 400 000\sqrt{5}}$$.
   Сокращаем дробь, разделив числитель и знаменатель на 8:
   $$\frac{1}{800 000\sqrt{5}}$$.
4. Шаг 4: Избавляемся от иррациональности в знаменателе (умножаем числитель и знаменатель на √5):
   $$\frac{1 \cdot \sqrt{5}}{800 000\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{800 000 \cdot 5} = \frac{\sqrt{5}}{4 000 000}$$.

Ответ: $$\frac{\sqrt{5}}{4000000}$$