Найдите значение выражения \(\frac{4x^2+4x+1}{x^2-4} : \frac{4x+2}{6x-12}\) при х=3.

Решение:

1. Упростим первое дробное выражение: Числитель является полным квадратом суммы:
• \[ 4x^2 + 4x + 1 = (2x+1)^2 \]
• Знаменатель является разностью квадратов:
• \[ x^2 - 4 = (x-2)(x+2) \]
• Таким образом, первая дробь:
• \[ \frac{(2x+1)^2}{(x-2)(x+2)} \]
2. Упростим второе дробное выражение: Вынесем общий множитель из числителя и знаменателя:
• \[ 4x+2 = 2(2x+1) \]
• \[ 6x-12 = 6(x-2) \]
• Таким образом, вторая дробь:
• \[ \frac{2(2x+1)}{6(x-2)} = \frac{2x+1}{3(x-2)} \]
3. Выполним деление дробей (умножим первую дробь на перевернутую вторую):
• \[ \frac{(2x+1)^2}{(x-2)(x+2)} \times \frac{3(x-2)}{2x+1} \]
• Сократим общие множители (2x+1) и (x-2):
• \[ \frac{2x+1}{x+2} \times \frac{3}{1} = \frac{3(2x+1)}{x+2} \]
4. Подставим значение x = 3 в упрощенное выражение:
• \[ \frac{3(2 \times 3 + 1)}{3 + 2} = \frac{3(6 + 1)}{5} = \frac{3 \times 7}{5} = \frac{21}{5} \]
5. Переведем в десятичную дробь:
• \[ \frac{21}{5} = 4.2 \]

Ответ: 4.2