Найдите значение выражения \( \frac{8ab}{a+8b} \cdot \left( \frac{a}{8b} - \frac{8b}{a} \right) \) при \( a = 8\sqrt{3}+7 \), \( b = \sqrt{3}-3 \).

Решение:

Сначала упростим выражение:

\( \frac{8ab}{a+8b} \cdot \left( \frac{a}{8b} - \frac{8b}{a} \right) = \frac{8ab}{a+8b} \cdot \left( \frac{a^2 - (8b)^2}{8ab} \right) \)

Сократим \( 8ab \):

\( \frac{1}{a+8b} \cdot (a^2 - 64b^2) \)

Раскроем скобки, используя формулу разности квадратов \( (x-y)(x+y) = x^2 - y^2 \) где \( x=a \) и \( y=8b \):

\( \frac{(a - 8b)(a + 8b)}{a+8b} \)

Сократим \( (a+8b) \):

\( a - 8b \)

Теперь подставим значения \( a = 8\sqrt{3}+7 \) и \( b = \sqrt{3}-3 \):

\( a - 8b = (8\sqrt{3}+7) - 8(\sqrt{3}-3) \)

Раскроем скобки:

\( 8\sqrt{3}+7 - 8\sqrt{3} + 24 \)

Сложим подобные члены:

\( (8\sqrt{3} - 8\sqrt{3}) + (7 + 24) = 0 + 31 = 31 \)

Ответ: 31