Найдите значение выражения $$\frac{a^{-2}}{\sqrt[3]{a^7 \cdot a^{-4}}}$$ при $$a = 81$$.

Решение:

1. Упрощение выражения:
   1. Сначала упростим знаменатель: $$\sqrt[3]{a^7 \cdot a^{-4}} = \sqrt[3]{a^{7-4}} = \sqrt[3]{a^3} = a$$.
   2. Теперь подставим упрощенный знаменатель в исходное выражение: $$\frac{a^{-2}}{a} = a^{-2-1} = a^{-3}$$.
2. Подстановка значения $$a$$: Теперь подставим $$a = 81$$ в упрощенное выражение $$a^{-3}$$: $$81^{-3}$$.
3. Вычисление: $$81^{-3} = \frac{1}{81^3}$$. Поскольку $$81 = 3^4$$, то $$81^3 = (3^4)^3 = 3^{12}$$.
4. Окончательный ответ: $$\frac{1}{81^3} = \frac{1}{531441}$$.

Ответ: $$\frac{1}{531441}$$