Найдите значение выражения \(\frac{a^{23} \cdot b^{4}}{(a \cdot b)^{20}}\), при \( a = 2 \) и \( b = \sqrt{2} \).

Решение:

Упростим выражение:

\[ \frac{a^{23} \cdot b^{4}}{(a \cdot b)^{20}} = \frac{a^{23} \cdot b^{4}}{a^{20} \cdot b^{20}} = a^{23-20} \cdot b^{4-20} = a^3 \cdot b^{-16} = \frac{a^3}{b^{16}} \]

Теперь подставим данные значения:

\( a = 2 \), \( b = \sqrt{2} \).

\( a^3 = 2^3 = 8 \).

\( b^{16} = (\sqrt{2})^{16} = (2^{1/2})^{16} = 2^{16/2} = 2^8 \).

\( 2^8 = 256 \).

Подставим полученные значения в упрощённое выражение:

\[ \frac{8}{256} \]

Сократим дробь:

\[ \frac{8}{256} = \frac{1}{32} \]

Ответ: \( \frac{1}{32} \).