Найдите значение выражения: \(\frac{\sqrt{2} \cdot ⁴\sqrt{48}}{\sqrt[4]{12}}\).

Решение:

Для упрощения выражения сначала приведем все корни к одному показателю степени. Наименьший общий показатель для \( ⁴ \) и \( ² \) (из \( √2 \)) равен 4.

1. Представим \( √2 \) как корень четвертой степени: \( √2 = √[4]{2^2} = √[4]{4} \).
2. Теперь выражение выглядит так: \( \frac{√[4]{4} ⁴√{48}}{√[4]{12}} \).
3. Объединим корни под одним знаком: \( √[4]{\frac{4 ⁴ 48}{12}} \).
4. Выполним вычисления под корнем: \( \frac{4 ⁴ 48}{12} = \frac{192}{12} = 16 \).
5. Осталось вычислить \( √[4]{16} \).
6. Так как \( 2^4 = 16 \), то \( √[4]{16} = 2 \).

Ответ: 2