Решите уравнение: \( 16 · √{3-x-x^2} · √{3-x} = 0 \).

Решение:

Уравнение имеет вид \( A · B = 0 \), где \( A = 16 · √{3-x-x^2} \) и \( B = √{3-x} \). Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

1. Рассматриваем первый множитель:

\( 16 · √{3-x-x^2} = 0 \)

Разделим обе части на 16:

\( √{3-x-x^2} = 0 \)

Возведем обе части в квадрат:

\( 3-x-x^2 = 0 \)

\( x^2 + x - 3 = 0 \)

Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 · 1 · (-3) = 1 + 12 = 13 \]

Найдем корни:

\[ x_{1,2} = \frac{-b ± √{D}}{2a} = \frac{-1 ± √{13}}{2} \]

2. Рассматриваем второй множитель:

\( √{3-x} = 0 \)

Возведем обе части в квадрат:

\( 3-x = 0 \)

\( x = 3 \)

3. Проверяем корни на область допустимых значений (ОДЗ):

Подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

\( 3-x-x^2 ≥ 0 \) и \( 3-x ≥ 0 \).

Из \( 3-x ≥ 0 \) следует \( x ≤ 3 \).

Проверим \( x = 3 \): \( 3-3-3^2 = -9 < 0 \). Значит, \( x = 3 \) не является решением, так как \( √{3-x-x^2} \) не определен.

Проверим корни \( x_{1,2} = \frac{-1 ± √{13}}{2} \):

\( √{13} \) приблизительно равен 3.6.

\( x_1 = \frac{-1 + 3.6}{2} = \frac{2.6}{2} = 1.3 \). \( 3 - 1.3 = 1.7 ≥ 0 \) и \( 3 - 1.3 - 1.3^2 = 1.7 - 1.69 = 0.01 ≥ 0 \). Этот корень подходит.

\( x_2 = \frac{-1 - 3.6}{2} = \frac{-4.6}{2} = -2.3 \). \( 3 - (-2.3) = 5.3 ≥ 0 \) и \( 3 - (-2.3) - (-2.3)^2 = 5.3 - 5.29 = 0.01 ≥ 0 \). Этот корень также подходит.

Ответ: \( x = \frac{-1 ± √{13}}{2} \)