Найдите значение выражения $$\frac{\sqrt{21} - \sqrt{14}}{\sqrt{6}}$$

Решение:

Чтобы упростить это выражение, мы можем разделить каждый член числителя на знаменатель:

\[ \frac{\sqrt{21} - \sqrt{14}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{6}} - \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{6}} \]

Теперь мы можем использовать свойство корней $$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$$:

\[ \sqrt{\frac{21}{6}} - \sqrt{\frac{14}{6}} \]

Сократим дроби под корнями:

\[ \sqrt{\frac{7}{2}} - \sqrt{\frac{7}{3}} \]

Чтобы дальше упростить, приведем корни к общему знаменателю. Умножим и разделим первый корень на $$\sqrt{2}$$ и второй на $$\sqrt{3}$$:

\[ \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{14}}{2} - \frac{\sqrt{21}}{3} \]

Теперь приведем к общему знаменателю 6:

\[ \frac{3\sqrt{14}}{6} - \frac{2\sqrt{21}}{6} = \frac{3\sqrt{14} - 2\sqrt{21}}{6} \]

Альтернативный подход:

Можно сначала преобразовать числитель, вынеся общий множитель:

\[ \sqrt{21} = \sqrt{3 \times 7} \]

\[ \sqrt{14} = \sqrt{2 \times 7} \]

Вынесем $$\sqrt{7}$$:

\[ \sqrt{7}(\sqrt{3} - \sqrt{2}) \]

Теперь подставим это в исходное выражение:

\[ \frac{\sqrt{7}(\sqrt{3} - \sqrt{2})}{\sqrt{6}} \]

Умножим числитель и знаменатель на $$\sqrt{6}$$:

\[ \frac{\sqrt{7}(\sqrt{3} - \sqrt{2})\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{7}(\sqrt{18} - \sqrt{12})}{6} \]

Упростим корни в скобках:

\[ \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2} \]

\[ \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3} \]

Подставим обратно:

\[ \frac{\sqrt{7}(3\sqrt{2} - 2\sqrt{3})}{6} = \frac{3\sqrt{14} - 2\sqrt{21}}{6} \]

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: $$\frac{3\sqrt{14} - 2\sqrt{21}}{6}$$