Найдите значение выражения \(\left(25a^2 - \frac{1}{16b^2}\right)\left(5a - \frac{1}{4b}\right)\) при \(a = \frac{2}{5}\) и \(b = \frac{1}{16}\).

Решение:

Заметим, что выражение \(25a^2 - \frac{1}{16b^2}\) является разностью квадратов: \(\left(5a\right)^2 - \left(\frac{1}{4b}\right)^2\).

По формуле разности квадратов, \(x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)\), мы можем переписать первую часть выражения:

\[ 25a^2 - \frac{1}{16b^2} = \left(5a - \frac{1}{4b}\right)\left(5a + \frac{1}{4b}\right) \]

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

\[ \left( \left(5a - \frac{1}{4b}\right)\left(5a + \frac{1}{4b}\right) \right) \left(5a - \frac{1}{4b}\right) = \left(5a - \frac{1}{4b}\right)^2 \left(5a + \frac{1}{4b}\right) \]

Однако, проще заметить, что исходное выражение можно упростить, если заметить, что \(25a^2 - \frac{1}{16b^2} = \left(5a-\frac{1}{4b}\right)\left(5a+\frac{1}{4b}\right)\).

Тогда исходное выражение будет:

\[ \left(5a-\frac{1}{4b}\right)\left(5a+\frac{1}{4b}\right) \left(5a - \frac{1}{4b}\right) = \left(5a - \frac{1}{4b}\right)^2 \left(5a + \frac{1}{4b}\right) \]

Но давайте посмотрим еще раз. Возможно, в условии ошибка, и должно быть \((5a + \frac{1}{4b})\) во втором множителе. Предположим, что условие верно.

Давайте подставим значения:

При \(a = \frac{2}{5}\): \(5a = 5 \times \frac{2}{5} = 2\).

При \(b = \frac{1}{16}\): \(4b = 4 \times \frac{1}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}\).

Тогда \(\frac{1}{4b} = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4\).

Подставляем значения в выражение:

\[ \left( 25\left(\frac{2}{5}\right)^2 - \frac{1}{16\left(\frac{1}{16}\right)^2} \right) \left( 5\left(\frac{2}{5}\right) - \frac{1}{4\left(\frac{1}{16}\right)} \right) \]

Это выглядит громоздко. Давайте еще раз посмотрим на структуру выражения:

\[ \left(25a^2 - \frac{1}{16b^2}\right) \left(5a - \frac{1}{4b}\right) \]

Заметим, что \(25a^2 - \frac{1}{16b^2} = \left(5a - \frac{1}{4b}\right) \left(5a + \frac{1}{4b}\right)\).

Тогда выражение становится:

\[ \left(5a - \frac{1}{4b}\right) \left(5a + \frac{1}{4b}\right) \left(5a - \frac{1}{4b}\right) = \left(5a - \frac{1}{4b}\right)^2 \left(5a + \frac{1}{4b}\right) \]

Теперь подставим значения:

\(5a = 5 \times \frac{2}{5} = 2\)

\(\frac{1}{4b} = \frac{1}{4 \times \frac{1}{16}} = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4\)

\(5a - \frac{1}{4b} = 2 - 4 = -2\)

\(5a + \frac{1}{4b} = 2 + 4 = 6\)

Подставляем в упрощенное выражение:

\[ (-2)^2 \times 6 = 4 \times 6 = 24 \]

Ответ: 24