Найдите значение выражения $$-9p^3$$ при $$p = -\frac{1}{3}$$. Выполните действия: а) $$c^3 \cdot c^{22}$$; б) $$c^{18} : c^6$$; в) $$(c^4)^6$$; г) $$(3c)^5$$. Упростите выражение: а) $$-4x^5y^2 \cdot 3xy^4$$; б) $$(3x^2y^3)^2$$. Вычислите: $$\frac{3^6 \cdot 27}{81^2}$$. Упростите выражение: а) $$4\frac{1}{6}a^8b^5 \cdot (-1\frac{1}{5}a^5b)^3$$; б) $$a^{m+1} \cdot a \cdot a^{3-m}$$.

1. Найдем значение выражения $$-9p^3$$ при $$p = -\frac{1}{3}$$:

Подставим значение $$p$$ в выражение:

$$ -9 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^3 = -9 \cdot \left(-\frac{1}{27}\right) = \frac{9}{27} = \frac{1}{3} $$

2. Выполним действия:

а) $$c^3 \cdot c^{22}$$

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: $$c^3 \cdot c^{22} = c^{3+22} = c^{25}$$

б) $$c^{18} : c^6$$

При делении степеней с одинаковым основанием из показателя делимого вычитается показатель делителя: $$c^{18} : c^6 = c^{18-6} = c^{12}$$

в) $$(c^4)^6$$

При возведении степени в степень показатели перемножаются: $$(c^4)^6 = c^{4 \cdot 6} = c^{24}$$

г) $$(3c)^5$$

Возведем каждый множитель в степень: $$(3c)^5 = 3^5 \cdot c^5 = 243c^5$$

3. Упростим выражение:

а) $$-4x^5y^2 \cdot 3xy^4$$

Перемножим коэффициенты и переменные с одинаковым основанием, складывая их показатели: $$-4 \cdot 3 \cdot x^5 \cdot x \cdot y^2 \cdot y^4 = -12x^{5+1}y^{2+4} = -12x^6y^6$$

б) $$(3x^2y^3)^2$$

Возведем каждый множитель в степень: $$(3x^2y^3)^2 = 3^2 \cdot (x^2)^2 \cdot (y^3)^2 = 9x^{2\cdot 2}y^{3\cdot 2} = 9x^4y^6$$

4. Вычислим: $$\frac{3^6 \cdot 27}{81^2}$$

Преобразуем выражение, представив все числа как степени числа 3:

$$\frac{3^6 \cdot 27}{81^2} = \frac{3^6 \cdot 3^3}{(3^4)^2} = \frac{3^{6+3}}{3^{4\cdot 2}} = \frac{3^9}{3^8} = 3^{9-8} = 3^1 = 3$$

5. Упростим выражение:

а) $$4\frac{1}{6}a^8b^5 \cdot (-1\frac{1}{5}a^5b)^3$$

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби: $$4\frac{1}{6} = \frac{25}{6}$$ и $$-1\frac{1}{5} = -\frac{6}{5}$$

Возведем вторую скобку в куб: $$\left(-\frac{6}{5}a^5b\right)^3 = \left(-\frac{6}{5}\right)^3 \cdot (a^5)^3 \cdot b^3 = -\frac{216}{125}a^{15}b^3$$

Упростим выражение: $$\frac{25}{6}a^8b^5 \cdot \left(-\frac{216}{125}a^{15}b^3\right) = \frac{25}{6} \cdot \left(-\frac{216}{125}\right) \cdot a^8 \cdot a^{15} \cdot b^5 \cdot b^3 = -\frac{25 \cdot 216}{6 \cdot 125}a^{8+15}b^{5+3} = -\frac{5 \cdot 36}{1 \cdot 25}a^{23}b^8 = -\frac{180}{25}a^{23}b^8 = -\frac{36}{5}a^{23}b^8 = -7\frac{1}{5}a^{23}b^8$$

б) $$a^{m+1} \cdot a \cdot a^{3-m}$$

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: $$a^{m+1} \cdot a \cdot a^{3-m} = a^{(m+1) + 1 + (3-m)} = a^{m+1+1+3-m} = a^{m-m+5} = a^5$$