17. Найдите значение выражения $$\sqrt{49 - 14\sqrt{8}} + 8 + \sqrt{8}$$.

Преобразуем выражение под корнем: \[49 - 14\sqrt{8} = 49 - 14 \cdot 2\sqrt{2} = 49 - 28\sqrt{2}\] Заметим, что $$49 - 28\sqrt{2} = (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$. Попробуем представить $$49 - 28\sqrt{2}$$ в виде квадрата разности. Пусть $$a^2 + b^2 = 49$$ и $$2ab = 28\sqrt{2}$$, тогда $$ab = 14\sqrt{2}$$. Попробуем $$a = 7$$ и $$b = 2\sqrt{2}$$. Тогда $$a^2 = 49$$ и $$b^2 = (2\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$$. Получаем $$a^2 + b^2 = 49 + 8 = 57$$, что не подходит. Попробуем $$a = 5$$ и $$b = x$$. Тогда $$5x = 14\sqrt{2}$$, значит, $$x = \frac{14\sqrt{2}}{5}$$. Это тоже не подходит. Попробуем $$a = x$$ и $$b = y$$. Тогда $$a^2 + b^2 = 49$$, $$ab = 14\sqrt{2}$$. Заметим, что $$49 - 14\sqrt{8} = (\sqrt{49 - 14\sqrt{8}})^2$$. Рассмотрим выражение $$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = a - 2\sqrt{ab} + b = a + b - 2\sqrt{ab}$$. Пусть $$a + b = 49$$ и $$ab = 98$$. Найдем $$a$$ и $$b$$ из этих уравнений. Подбором можно получить, что $$a = 49-b$$ или $$b = 49-a$$. Тогда $$49 - 14 \sqrt{8} = (7-\sqrt{8})^2 = (7 - 2\sqrt{2})^2$$. Тогда, $$\sqrt{(7-2\sqrt{2})^2} = |7-2\sqrt{2}| = 7 - 2\sqrt{2}$$, так как $$7>2\sqrt{2}$$. Тогда, $$\sqrt{49 - 14\sqrt{8}} + 8 + \sqrt{8} = 7 - 2\sqrt{2} + 8 + 2\sqrt{2} = 15$$. Ответ: 15