Найдите значение выражения: $$\sqrt{108 - 12\sqrt{3} \sin^2(\frac{29\pi}{12})}$$.

Для решения этого выражения, нам потребуется упростить аргумент синуса и воспользоваться тригонометрическими формулами. 1. Упростим аргумент синуса: $$\frac{29\pi}{12} = \frac{24\pi + 5\pi}{12} = 2\pi + \frac{5\pi}{12}$$ Поскольку период синуса равен $$2\pi$$, то $$\sin(2\pi + x) = \sin(x)$$, следовательно: $$\sin(\frac{29\pi}{12}) = \sin(\frac{5\pi}{12})$$ 2. Найдем значение $$\sin(\frac{5\pi}{12})$$: $$\frac{5\pi}{12} = \frac{2\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} = 30^\circ + 45^\circ = 75^\circ$$ Воспользуемся формулой синуса суммы: $$\sin(a + b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)$$ $$\sin(\frac{5\pi}{12}) = \sin(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{6})\cos(\frac{\pi}{4}) + \cos(\frac{\pi}{6})\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$$ 3. Вычислим $$\sin^2(\frac{5\pi}{12})$$: $$\sin^2(\frac{5\pi}{12}) = (\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4})^2 = \frac{2 + 2\sqrt{12} + 6}{16} = \frac{8 + 4\sqrt{3}}{16} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4}$$ 4. Подставим в исходное выражение: $$\sqrt{108 - 12\sqrt{3} \sin^2(\frac{29\pi}{12})} = \sqrt{108 - 12\sqrt{3} \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{4}} = \sqrt{108 - 3\sqrt{3} (2 + \sqrt{3})} = \sqrt{108 - 6\sqrt{3} - 9} = \sqrt{99 - 6\sqrt{3}}$$ Похоже, что допустили ошибку. Давайте пересчитаем: $$\sqrt{108 - 12\sqrt{3} \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{4}} = \sqrt{108 - 3\sqrt{3} (2 + \sqrt{3})} = \sqrt{108 - 6\sqrt{3} - 3\sqrt{3}\sqrt{3}} = \sqrt{108 - 6\sqrt{3} - 9} = \sqrt{99 - 6\sqrt{3}}$$ Упростить выражение $$\sqrt{99 - 6\sqrt{3}}$$ напрямую сложно. Давайте вернемся к исходному выражению и проверим вычисления: $$\sqrt{108 - 12\sqrt{3} \sin^2(\frac{29\pi}{12})} = \sqrt{108 - 12\sqrt{3} \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{4}} = \sqrt{108 - 3\sqrt{3}(2 + \sqrt{3})} = \sqrt{108 - 6\sqrt{3} - 9} = \sqrt{99 - 6\sqrt{3}}$$ Похоже, в условии задачи или в вычислениях есть неточность. Если допустить, что выражение под корнем должно упроститься до целого числа, то, возможно, где-то закралась ошибка. Перепроверим все шаги. $$\sin(\frac{5\pi}{12}) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$ $$\sin^2(\frac{5\pi}{12}) = (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})^2 = \frac{6 + 2\sqrt{12} + 2}{16} = \frac{8 + 4\sqrt{3}}{16} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4}$$ $$\sqrt{108 - 12\sqrt{3} \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{4}} = \sqrt{108 - 3\sqrt{3}(2 + \sqrt{3})} = \sqrt{108 - 6\sqrt{3} - 9} = \sqrt{99 - 6\sqrt{3}}$$ На этом этапе дальнейшее упрощение без численных методов затруднительно. Если предположить, что в задаче опечатка, и вместо $$12\sqrt{3}$$ должно быть $$12$$, то решение было бы таким: $$\sqrt{108 - 12 \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{4}} = \sqrt{108 - 3(2 + \sqrt{3})} = \sqrt{108 - 6 - 3\sqrt{3}} = \sqrt{102 - 3\sqrt{3}}$$ Это тоже не упрощается до целого числа. Правильный ответ: $$\sqrt{99 - 6\sqrt{3}}$$