Найдите значение выражения \(\sqrt{10\cdot7^2} \cdot \sqrt{10\cdot2^6}\).

Решение:

Воспользуемся свойством корней \( \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} \) и свойством степеней \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \) и \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \).

Сначала упростим выражения под корнями:

\[ \sqrt{10 \cdot 7^2} = \sqrt{10} \cdot \sqrt{7^2} = \sqrt{10} \cdot 7 \]

\[ \sqrt{10 \cdot 2^6} = \sqrt{10} \cdot \sqrt{2^6} = \sqrt{10} \cdot 2^{6/2} = \sqrt{10} \cdot 2^3 = \sqrt{10} \cdot 8 \]

Теперь перемножим полученные выражения:

\[ (\sqrt{10} \cdot 7) \cdot (\sqrt{10} \cdot 8) = \sqrt{10} \cdot \sqrt{10} \cdot 7 \cdot 8 = 10 \cdot 56 = 560 \]

Ответ: 560