Найдите значение выражения $$\sqrt{9a^2 - 42ab + 49b^2}$$, при $$a = 1\frac{5}{9}$$, $$b = \frac{8}{21}$$.

Решение:

Выражение под корнем является полным квадратом разности:

\( 9a^2 - 42ab + 49b^2 = (3a)^2 - 2 \cdot 3a \cdot 7b + (7b)^2 = (3a - 7b)^2 \)

Тогда исходное выражение примет вид:

\( \sqrt{(3a - 7b)^2} = |3a - 7b| \)

Теперь подставим заданные значения $$a$$ и $$b$$. Сначала преобразуем смешанное число $$a$$ в неправильную дробь:

\( a = 1\frac{5}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 5}{9} = \frac{14}{9} \)

Вычислим $$3a$$ и $$7b$$:

\( 3a = 3 \cdot \frac{14}{9} = \frac{3 \cdot 14}{9} = \frac{14}{3} \)

\( 7b = 7 \cdot \frac{8}{21} = \frac{7 \cdot 8}{21} = \frac{8}{3} \)

Теперь найдём разность $$3a - 7b$$:

\( 3a - 7b = \frac{14}{3} - \frac{8}{3} = \frac{14 - 8}{3} = \frac{6}{3} = 2 \)

Так как разность положительна, модуль равен самому числу:

\( |3a - 7b| = |2| = 2 \)

Ответ: 2