Найдите значение выражения \( \sqrt{\frac{100a}{a^{19}}} \) при \( a = 8 \).

Решение:

Сначала упростим выражение под корнем, а затем подставим значение \( a = 8 \).

1. Упростим дробь под корнем, используя свойства степеней \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \): \[ \frac{100a}{a^{19}} = 100 a^{1-19} = 100 a^{-18} = \frac{100}{a^{18}} \]
2. Теперь подставим это в выражение под корень: \[ \sqrt{\frac{100}{a^{18}}} \]
3. Извлечём корень: \[ \sqrt{\frac{100}{a^{18}}} = \frac{\sqrt{100}}{\sqrt{a^{18}}} = \frac{10}{a^{18/2}} = \frac{10}{a^9} \]
4. Подставим \( a = 8 \) в упрощённое выражение: \[ \frac{10}{8^9} \]
5. Вычислим \( 8^9 \). Можно представить 8 как \( 2^3 \), тогда \( 8^9 = (2^3)^9 = 2^{3 \cdot 9} = 2^{27} \).
6. Итоговое значение: \[ \frac{10}{2^{27}} \]

Ответ: \( \frac{10}{8^9} \) или \( \frac{10}{2^{27}} \).