10) Найдите значение выражения $$x^3 - 4xy + 4y^2 - 4x + 8y + 7$$, если $$x - 2y = 4$$.

Преобразуем выражение $$x^3 - 4xy + 4y^2 - 4x + 8y + 7$$. Сначала заметим, что $$4y^2 - 4xy = (2y)^2 - 2(x)(2y) + x^2 - x^2 = (x-2y)^2 - x^2$$. Теперь подставим это в выражение: $$x^3 - 4xy + 4y^2 - 4x + 8y + 7 = x^3 - x^2 + (x-2y)^2 - 4x + 8y + 7$$. Из условия $$x - 2y = 4$$, следовательно, $$(x-2y)^2 = 4^2 = 16$$. Также, $$8y = 2(4y)$$. Из условия $$x - 2y = 4$$, следует, что $$2y = x - 4$$. Тогда $$4y = 2x - 8$$, и $$8y = 4x - 16$$. Подставим это в выражение: $$x^3 - x^2 + (x-2y)^2 - 4x + 8y + 7 = x^3 - x^2 + 16 - 4x + (4x - 16) + 7 = x^3 - x^2 + 16 - 4x + 4x - 16 + 7 = x^3 - x^2 + 7$$. Теперь выразим x через y из условия $$x - 2y = 4$$, тогда $$x = 2y + 4$$. Получим: $$x^3 - x^2 + 7 = (2y+4)^3 - (2y+4)^2 + 7$$. Подставим $$x = 4 + 2y$$ в исходное выражение, где $$x - 2y = 4$$: $$(4 + 2y)^3 - (4 + 2y)^2 + 7$$. Это выражение упростить уже не получится. Но если в исходном выражении допустить опечатку и вместо $$x^3$$ написать $$x^2$$, тогда: $$x^2 - 4xy + 4y^2 - 4x + 8y + 7 = (x - 2y)^2 - 4(x - 2y) + 7 = 4^2 - 4(4) + 7 = 16 - 16 + 7 = 7$$. Ответ: 7