Решение:

Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) двух чисел, нужно разложить каждое число на простые множители, затем выбрать общие множители и перемножить их.

a) НОД(420, 1400)

• Разложим 420 на простые множители: $$420 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$$
• Разложим 1400 на простые множители: $$1400 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 = 2^3 \cdot 5^2 \cdot 7$$
• Общие множители: $$2^2, 5, 7$$
• НОД(420, 1400) = $$2^2 \cdot 5 \cdot 7 = 4 \cdot 5 \cdot 7 = 140$$

Ответ: НОД(420, 1400) = 140

б) НОД(2079, 1089)

• Разложим 2079 на простые множители: $$2079 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 11 = 3^3 \cdot 7 \cdot 11$$
• Разложим 1089 на простые множители: $$1089 = 3 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 11 = 3^2 \cdot 11^2$$
• Общие множители: $$3^2, 11$$
• НОД(2079, 1089) = $$3^2 \cdot 11 = 9 \cdot 11 = 99$$

Ответ: НОД(2079, 1089) = 99

в) НОД(312, 468)

• Разложим 312 на простые множители: $$312 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 13 = 2^3 \cdot 3 \cdot 13$$
• Разложим 468 на простые множители: $$468 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 13 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 13$$
• Общие множители: $$2^2, 3, 13$$
• НОД(312, 468) = $$2^2 \cdot 3 \cdot 13 = 4 \cdot 3 \cdot 13 = 156$$

Ответ: НОД(312, 468) = 156

г) НОД(2695, 4235)

• Разложим 2695 на простые множители: $$2695 = 5 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 11 = 5 \cdot 7^2 \cdot 11$$
• Разложим 4235 на простые множители: $$4235 = 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 11 = 5 \cdot 7 \cdot 11^2$$
• Общие множители: $$5, 7, 11$$
• НОД(2695, 4235) = $$5 \cdot 7 \cdot 11 = 385$$

Ответ: НОД(2695, 4235) = 385