Найти: ($$\vec{AB}$$, $$\vec{CA}$$)?

Пусть длина ребра куба AB = 1. Координаты точек:
A(0, 0, 0), B(0, 1, 0), C(1, 1, 0), A₁(0, 0, 1).
Найдем координаты векторов:
$$\vec{AB}$$ = (0 - 0; 1 - 0; 0 - 0) = (0; 1; 0)
$$\vec{CA}$$ = (0 - 1; 0 - 1; 0 - 0) = (-1; -1; 0)

Найдем косинус угла между векторами $$\vec{AB}$$ и $$\vec{CA}$$:
$$\cos{\alpha} = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{CA}}{|\vec{AB}| |\vec{CA}|}$$, где
$$\vec{AB} \cdot \vec{CA}$$ - скалярное произведение векторов,
$$|\vec{AB}|$$ и $$|\vec{CA}|$$ - модули векторов.

$$\vec{AB} \cdot \vec{CA}$$ = 0 \cdot (-1) + 1 \cdot (-1) + 0 \cdot 0 = 0 - 1 + 0 = -1
$$|\vec{AB}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{0 + 1 + 0} = \sqrt{1} = 1$$
$$|\vec{CA}| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2}$$

Тогда
$$\cos{\alpha} = \frac{-1}{1 \cdot \sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Т.к. нужен острый угол, берем модуль косинуса:
$$|\cos{\alpha}| = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Угол, косинус которого равен $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$, равен 45° или $$\frac{\pi}{4}$$ радиан.

Ответ: Угол между векторами $$\vec{AB}$$ и $$\vec{CA}$$ равен 45°.