3. Найти: АΕ

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. ∠A + ∠B = 90°. Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Если катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла в 30°.

1) Рассмотрим прямоугольный треугольник EBC, в котором угол BEC прямой, значит, равен 90°. Угол BCE равен 60°. Найдём угол EBC.

∠EBC = 90° - ∠BCE = 90° - 60° = 30°.

2) По свойству угла в 30°, EC = 1/2 BE. Следовательно, BE = 2EC = 2 * 7 = 14.

3) Рассмотрим треугольник ABE. Найдём угол ABE.

∠ABE = ∠ABC - ∠EBC = 90° - 30° = 60°.

4) Рассмотрим треугольник ABE. Сумма углов треугольника равна 180°.

∠AEB = 180° - ∠A - ∠ABE = 180° - 30° - 60° = 90°.

5) Рассмотрим прямоугольный треугольник ABE. По теореме Пифагора AE² + BE² = AB².

AE² = AB² - BE².

6) Найдём AB.

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Катет BC лежит против угла в 30°, значит, AB = 2BC.

BE² + EC² = BC².

BC² = 14² + 7² = 196 + 49 = 245.

BC = √245 = √(49 * 5) = 7√5

AB = 2 * 7√5 = 14√5.

AE² = (14√5)² - 14² = 196 * 5 - 196 = 196(5 - 1) = 196 * 4 = 784

AE = √784 = 28.

Ответ: АΕ = 28.