7. Найти: \(\angle MCA\)

Задача 7: Найти угол \(\angle MCA\). Дано: Треугольник \(ABC\), где угол \(\angle B = 70^\circ\), угол \(\angle C = 90^\circ\). Также дано, что \(BM = MA\). Решение: 1. Найдем угол \(\angle BAC\). Сумма углов в треугольнике \(ABC) равна \(180^\circ\), поэтому: \[\angle BAC = 180^\circ - (90^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 160^\circ = 20^\circ\] 2. Так как \(BM = MA\), треугольник \(BMA) - равнобедренный. Следовательно, углы при основании равны: \[\angle MBA = \angle MAB = 70^\circ\] 3. Найдем угол \(\angle AMC\). Рассмотрим треугольник \(ABM\). \[\angle AMB = 180^\circ - (70^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ\] Угол \(\angle AMC) смежный с углом \(\angle AMB\), поэтому: \[\angle AMC = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ\] 4. Найдем угол \(\angle MAC\). Так как \(\angle BAC = 20^\circ\), угол \(\angle MAC = \angle MAB - \angle CAB\). Следовательно, \[\angle MAC = 70^\circ-20^\circ = 50^\circ\] 5. Рассмотрим треугольник \(AMC\). Мы знаем, что \(\angle AMC= 140^\circ\) и \(\angle MAC = 50^\circ\). Тогда \[\angle MCA=180^\circ - (140^\circ +50^\circ) = 180^\circ-190^\circ=-10^\circ\] Это невозможно! Проверим еще раз. Должно быть \(\angle MAB = 20^\circ\) 2. Так как \(BM = MA\), треугольник \(BMA) - равнобедренный. Следовательно, углы при основании равны: \[\angle MBA = \angle MAB = 70^\circ\] Это условие неверно. Исходя из условия, угол MAB = углу ВАС= 20 градусам. Тогда \(\angle BMA= 180-20-70=90^\circ\) \(\angle CMA= 180-90 = 90^\circ\) Тогда \(\angle MCA = 180-90-20 =70^\circ\) Ответ: \(\angle MCA = 70^\circ\)