6. Найти: \(CA_1\)

Задача 6: Найти длину отрезка \(CA_1\). Дано: Прямоугольный треугольник \(ABC\), где угол \(C = 90^\circ\), угол \(CAA_1 = 20^\circ\), и внешний угол при вершине \(B) равен \(150^\circ\). Решение: 1. Найдем угол \(CBA\). Так как внешний угол при вершине \(B) равен \(150^\circ\), то внутренний угол \(CBA) равен: \[\angle CBA = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ\] 2. Найдем угол \(BAC\) в треугольнике \(ABC\). Сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\), поэтому: \[\angle BAC = 180^\circ - (90^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\] 3. Найдем угол \(A_1AB\). Мы знаем, что угол \(CAA_1 = 20^\circ\). Следовательно: \[\angle A_1AB = \angle BAC - \angle CAA_1 = 60^\circ - 20^\circ = 40^\circ\] 4. Найдем угол \(AA_1B\). Так как \(A_1) лежит на \(CB\), то угол \(A_1BA = \angle CBA = 30^\circ\). Сумма углов в треугольнике \(AA_1B) равна \(180^\circ\), поэтому: \[\angle AA_1B = 180^\circ - (40^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ\] 5. Теперь рассмотрим треугольник \(CAA_1\). Угол \(ACA_1 = 90^\circ\), угол \(CAA_1 = 20^\circ\). Следовательно: \[\angle CA_1A = 180^\circ - (90^\circ + 20^\circ) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ\] 6. Заметим, что задача не имеет однозначного решения, поскольку длины сторон не заданы. Однако, если предположить, что требуется найти угол \(CA_1A\), то ответ будет \(70^\circ\). Если же требуется найти именно длину отрезка \(CA_1\), то нужно больше данных (например, длина одной из сторон). Ответ: \(\angle CA_1A = 70^\circ\)