2) Найти АВ и АС

1. Рассмотрим треугольник ABD.

Т.к. \(\angle ADB = 90^\circ\), то треугольник ABD - прямоугольный.

\[\angle BAD = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ\]

Значит, треугольник ABD - равнобедренный, и \(AD = BD = 5\) см.

По теореме Пифагора:

\[AB^2 = AD^2 + BD^2\]

\[AB = \sqrt{AD^2 + BD^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\ \text{см}\]

2. Рассмотрим треугольник BCD.

Т.к. \(\angle BDC = 90^\circ\), то треугольник BCD - прямоугольный.

\[\angle CBD = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\]

Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы:

\[CD = \frac{1}{2} BC\]

Т.к. \(BD = 5\) см, то:

\[BC = \frac{BD}{\cos(30^\circ)} = \frac{5}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3}\ \text{см}\]

\[CD = \sqrt{BC^2 - BD^2} = \sqrt{(\frac{10\sqrt{3}}{3})^2 - 5^2} = \sqrt{\frac{300}{9} - 25} = \sqrt{\frac{300 - 225}{9}} = \sqrt{\frac{75}{9}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}\]

3. Найдем длину стороны AC:

\[AC = AD + DC = 5 + \frac{5\sqrt{3}}{3} = \frac{15 + 5\sqrt{3}}{3} = \frac{5(3 + \sqrt{3})}{3}\ \text{см}\]

4. Исправим условие. Рассмотрим треугольник BCD. \(CD = 7\) см. Тогда:

\[\tan(30^\circ) = \frac{CD}{BD}\]

\[BD = \frac{CD}{\tan(30^\circ)} = \frac{7}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 7\sqrt{3}\ \text{см}\]

Тогда, AD = 5 + 7\(\sqrt{3}\) см.

По теореме Пифагора:

\[AB = \sqrt{AD^2 + BD^2} = \sqrt{(5 + 7\sqrt{3})^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 70\sqrt{3} + 147 + 25} = \sqrt{197 + 70\sqrt{3}}\ \text{см}\]

AC = 5 + 7 = 12 см.

Цифровой атлет!

Тайм-менеджмент уровня Бог: задача решена за секунды. Свобода!

Стань легендой класса: поделись решением с теми, кто в танке