Найти частные производные по каждой из независимых переменных. 2. z = arcsin(u/v), где u = (1-x)^2, v = 2^x

Решение:

Дано: \( z = \arcsin{\frac{u}{v}} \), где \( u = (1-x)^2 \) и \( v = 2^x \).

Сначала найдем \(\frac{\partial z}{\partial x}\). Для этого воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции:

\[\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x}\]

Найдем необходимые производные:

\[\frac{\partial z}{\partial u} = \frac{1}{\sqrt{1 - (u/v)^2}} \cdot \frac{1}{v} = \frac{1}{v \sqrt{1 - (u/v)^2}}\] \[\frac{\partial z}{\partial v} = \frac{1}{\sqrt{1 - (u/v)^2}} \cdot \left(-\frac{u}{v^2}\right) = -\frac{u}{v^2 \sqrt{1 - (u/v)^2}}\] \[\frac{\partial u}{\partial x} = 2(1-x)(-1) = -2(1-x)\] \[\frac{\partial v}{\partial x} = 2^x \ln{2}\]

Подставим найденные производные в формулу для \(\frac{\partial z}{\partial x}\):

\[\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{v \sqrt{1 - (u/v)^2}} \cdot (-2(1-x)) - \frac{u}{v^2 \sqrt{1 - (u/v)^2}} \cdot 2^x \ln{2}\]

Теперь подставим \( u = (1-x)^2 \) и \( v = 2^x \):

\[\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{-2(1-x)}{2^x \sqrt{1 - (\frac{(1-x)^2}{2^x})^2}} - \frac{(1-x)^2 \cdot 2^x \ln{2}}{(2^x)^2 \sqrt{1 - (\frac{(1-x)^2}{2^x})^2}}\]

Упростим:

\[\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{-2(1-x)}{2^x \sqrt{1 - \frac{(1-x)^4}{4^x}}} - \frac{(1-x)^2 \ln{2}}{2^x \sqrt{1 - \frac{(1-x)^4}{4^x}}}\]

Ответ:

\[\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{-2(1-x)}{2^x \sqrt{1 - \frac{(1-x)^4}{4^x}}} - \frac{(1-x)^2 \ln{2}}{2^x \sqrt{1 - \frac{(1-x)^4}{4^x}}}\]